数据结构与算法之美-字符串匹配(上)

BF (Brute Force) 暴力/朴素匹配算法

主串和模式串

我们在字符串 A 中查找字符串 B，那字符串 A 就是主串，字符串 B 就是模式串。

我们把主串的长度记作 n，模式串的长度记作 m。因为我们是在主串中查找模式串，所以 n>m。

BF算法思想

在主串中，检查起始位置分别是 0、1、2…n-m 且长度为 m 的 n-m+1 个子串，看有没有跟模式串匹配的。

BF算法的缺点

在极端情况下，如主串是“aaaaa…aaaaaa”，模式串是“aaaaab”。我们每次都比对 m 个字符，需要比对 n-m+1 次。这种算法的最坏情况时间复杂度是 O(n*m)。

但在实际开发在BF是一种常用的字符串匹配算法。因为实际的软件开发中，大部分情况下，模式串和主串的长度都不会太长，算法执行效率要比 O(n*m)高很多。而且朴素字符串匹配算法思想简单，代码实现也非常简单。

 

RK (Rabin-Karp) 算法

它其实就是 BF 算法的升级版。对朴素的字符串匹配算法稍加改造，引入哈希算法，时间复杂度立刻就会降低。

RK算法思想

通过哈希算法对主串中的 n-m+1 个子串分别求哈希值，然后逐个与模式串的哈希值比较大小。

如果某个子串的哈希值与模式串相等，那就说明对应的子串和模式串匹配了，这里先不考虑哈希冲突的问题。

哈希值是一个数字，数字之间比较是否相等是非常快速的，所以模式串和子串比较的效率就提高了。

巧妙的哈希算法

通过哈希算法计算子串的哈希值的时候，需要遍历子串中的每个字符。尽管模式串与子串比较的效率提高了，但是算法整体的效率并没有提高。这就需要设计一个非常巧妙的哈希算法了。

假设要匹配的字符串的字符集中只包含 K 个字符，我们可以用一个 K 进制数来表示一个子串，这个 K 进制数转化成十进制数，作为子串的哈希值。

假设要处理的字符串只包含 a～z 这 26 个小写字母，那就用二十六进制来表示一个字符串。计算哈希值的时候，我们只需要把进位从 10 改成 26 就可以。

这种哈希算法有一个特点，在主串中，相邻两个子串的哈希值的计算公式有一定关系。即可以使用 s[i-1] 的哈希值很快的计算出 s[i] 的哈希值。公式如下所示：

//其中, h[i]、h[i-1] 分别对应 s[i] 和 s[i-1] 两个子串的哈希值
h[i] = 26*(h[i-1]-26^(m-1)*(s[i-1]-'a')) + (s[i+m-1]-'a');

其中 26^(m-1) 这部分的计算，可以通过查表的方法来提高效率。事先计算好 26^0、26^1等等，并且存储在一个长度为 m 的数组中。

公式中的“次方”就对应数组的下标。需要计算 26 的 x 次方的时候，就可以从数组的下标为 x 的位置取值，省去了计算的时间。

综上所述，可得RK 算法整体的时间复杂度是 O(n)。

哈希算法的缺点

模式串很长，相应的主串中的子串也会很长，通过上面的哈希算法计算得到的哈希值就可能很大，可能会超过了计算机中整型数据可以表示的范围。

前面设计的哈希算法是没有散列冲突的。因此，为了能将哈希值落在整型数据范围内，是可以牺牲一下，允许哈希冲突的。比如将26进制转为10进制的算法改为数字相加。

当存在哈希冲突的时候，有可能子串和模式串的哈希值虽然是相同的，但是两者本身并不匹配。我们只需要再对比一下子串和模式串本身就好了。

如果存在大量冲突，就会导致 RK 算法的时间复杂度退化，效率下降。极端情况下，如果存在大量的冲突，每次都要再对比子串和模式串本身，那时间复杂度就会退化成 O(n*m)。